Método de escalerización de Gauss Jordan



Si bien el método anterior resulta cómodo y fácil de usar una vez que se conoce cómo se calculan los determinantes de una matriz, es complicado de usar para matrices de cierto tamaño, de hecho ya para matrices de 4x4 el proceso se hace largo y tedioso.

Para este tipo de problemas podremos usar el método de escalerización de Gauss-Jordan.
El mismo plantea que podemos operar con las filas o columnas de una matriz (las diagonales también pero no vienen al caso) es mas, podemos operar con combinaciones lineales de filas de una matriz y si lo hacemos de forma correcta, mantenemos nuestro resultado, veamos la matriz:


$\cases{\begin{array}{rcl}-3x+4y-3z=4\\6x-2y+5z=0\\9x-5y+3z=7\end{array}} $

Procederemos a operar con las filas de la matriz, obedeciendo una serie de reglas simples:
1.- Podemos multiplicar o dividir una fila por un número, pero siempre afectaremos a todos los coeficientes de la fila (incluso el resultado)
2.- Podemos restar o sumar 2 filas, operando miembro a miembro (vamos a utilizar esto para eliminar coeficientes)

Terminaremos cuando hallamos obtenido o una matriz triangular (con 0 debajo de la diagonal principal) o incluso una matriz diagonal (este es el procedimiento completo, pero como es más largo procederemos con un híbrido).

Retomemos nuestro sistema

$\cases{\begin{array}{rcl}-3x+4y-3z=4\\6x-2y+5z=0\\9x-5y+3z=7\end{array}}$

Pasémoslo a forma matricial

$\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\6&-2&+5&0\\9&-5&+3&7\end{array}\right)$

Tomaremos ahora la primera fila y la multiplicaremos por 2 para obtener:

$-6x+8y-6z=8$ que usaremos para sumarla a la segunda fila para eliminar la x


$\begin{array}-6x+8y-6z=8\\6x-2y+5z=0\\ \hline 0+6y-1z=8\end{array}$

resultado que colocamos en la segunda columna:

$\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\9&-5&+3&7\end{array}\right)$

Ahora procederemos a multiplicar la primera columna por 3 y sumarla a la tercera (eliminamos la x también de esa fila)

$\begin{array}-9x+12y-9z=12\\9x-5y+3z=7\\ \hline 0+7y-6z=19\end{array}$ logrando

$\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\0&+7&-6&19\end{array}\right)$

vemos que ya tenemos 2 ceros en la primera columna, sólo resta eliminar un valor más y tendremos nuestra matriz triangular, para ello tomaremos la segunda fila multimplicada por -7 y la tercera por +6

$\begin{array}0-42y+7z=-56\\0+42y-36z=114\\ \hline 0+0y-29z=58\end{array}$

resultado que tomará el lugar de la tercera fila en la matriz

$\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\0&+0&-29&58\end{array}\right)$

Bueno ahora el proceso es simple, de la última fila despejamos z para obtener que es iguala 2
procedemos a sustituir nuestro resultado en la ecuación anterior y despejando obtenemos y, luego con el mismo método y las 2 incógnitas ya calculadas obtenemos x.

Soluciones:

$\cases{\begin{array}{rcl}x=2\\y=1\\z=-2\end{array}}$

 

Regla de Cramer o método de los determinantes

 

 

 

Usada para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

 

Un pequeño repaso, como sabemos la regla de Cramer es un método para resolver Ecuaciones Lineales, el mismo plantea que:

$x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)} $

En la práctica sustituimos el vector de soluciones por el vector de la incógnita que queremos despejar, así en el sistema

$\cases{\begin{array}{rcl}2x-3y=-6\\x+2y=11\end{array}}$

Primero hallaremos la matriz A y su determinante

$A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&2\end{pmatrix}$ 

 

$\det(A)=\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}$

 

$\left[\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right]$=4-(-3)=7

 

luego cambiamos la primera columna por el vector de resultados y calculamos

 


$\left[\begin{matrix}-6&-3\\11&2\end{matrix}\right]$|=-12-(-33)=21

aplicando entonces nuestra regla x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}o sea

$x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{21}{7}=3$
luego procedemos igual para y

$y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}$


$\left|\begin{matrix}2&-6\\1&11\end{matrix}\right|=22-(-6)=28$

$y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{28}{7}=4$

 

Soluciones:

 

x=3 $\hspace {9px}$ y=4 

 

 

 

  

Método por sustitución

 

 

 

El mismo ejemplo del comienzo nos permitirá utilizar el nuevo método, en este caso vamos a despejar una incógnita en una ecuación para luego sustituir el valor en la otra (podemos usar cualquier ecuación y cualquier incógnita):

 

 

 

$\cases{\begin{array}{lcr} 3x+2y= 7 \\ 5x - y=3 \end{array}}$

 

 

 

despejamos el valor de y de la segunda ecuación.

 

 y=-3 + 5x

 

ahora sustituyamos el valor obtenido en la primera ecuación.

 

3x+2(-3+5x) = 7

 

aplicaremos ahora propiedad distributiva:

 

 

 

3x - 6 +10x = 7 

 

 

y operando tenemos

 

 

 

13x = 13

 

 

 

a partir de aquí utilizaremos las técnicas aprendidas para solucionar una ecuación simple hasta tener

 

 

 

 x =$ \frac{13}{13}$

 

 

 

x = 1

 

 

 

la operación será repetida luego para el valor de y, se procederá con la sustitución en la primera ecuación y mediante las operaciones ya trabajadas llegaremos al resultado deseado.

 

 

 

Método por reducción:

 

 

 

Tomemos el ejemplo anterior para resolver nuestro sistema y así obtener el valor de la variable x, procederemos como se detalla a continuación: 

 

 

 

$\cases{ \begin{array}{lcr} 3x+2y= 7 \\ 5x - y=3 \end{array}}$

 

 

 

$\cases{ \begin{array}{lcr} 3x+2y= 7 (x5)\\ 5x - y=3 (x3) \end{array}}$

 

 

 

$\cases{ \begin{array}{lcr} 15x+10y= 35 \\ 15x - 3y=9 \end{array}}$

 

 

 

$\cases{\begin{array}{lcr} 15x+10y= 35 \\ 15x - 3y=9  \\ \hline  13y = 26 \end{array}} $

 

ahora debemos obtener el valor de la variable y

 

 

 13y=26 y= $\frac{26}{13}$      y=2

 

 

 

luego procedemos de igual forma para obtener el valor de x

 

 

 

 

Con ésto hemos resuelto nuestro sistema, ya que hemos obtenido los valores de las variables para los cuales las ecuaciones se pueden resolver de manera satisfactoria.

 

En las siguientes páginas estudiaremos otros métodos que podemos utilizar para resolver un sistema, siempre que el mismo no contenga más de 4 ecuaciones, y paso a explicar, los métodos que se trabajan a nivel secundario, no se ven limitados en cuanto a su utilidad, sino en cuanto a su  efectividad, me refiero a que Uds podrán resolver un sistema de ecuaciones lineales con los métodos aquí propuestos, pero en algunos casos, resultará mucho más práctico el uso de otros, que por su complejidad se incluirán en un artículo aparte.

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